쭈뼜

1. 결합확률

1) 결합확률 : 사건 X, Y가 동시에 발생할 확률 

2) 이산형 결합 확률분포 :  두 확률변수 X 와 Y가 동시에 각각 x,y 값을 가질 확률

$f(x,y)=P(X=x,Y=y)$

$0\leq f(x,y)\leq 1$

$\sum_{x} \sum_{y} f(x)=1$

2) 연속형 결합 확률분포 :

$P(a<X<b , c<Y<d)=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dydx$

$\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dydx=1$

$0\leq f(x,y)$

3) 예제1 : 주사위를 두번 던지는 행위에서 눈의 최대치 X 와 눈의 최소치 Y의 결합확률분포

X: 1,2,3,4,5,6

Y: 1,2,3,4,5,6

확률변수 $X,Y$가 $x \leq y$ 값을 만족하는 확률 

①$P_{XY}(1,1)$ 는 $x=y$를 만족하며 $= \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

②$P_{XY}(2,1)$ 는 $x>y$를 만족하며 $(2,1), (1,2)$ 의 경우의 수가 있으므로
 $= 2\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{2}{36}$

③$P_{XY}(0,1)$ 는 $x>y , x=y$를 만족하지 못하므로 0

2. 주변확률

1) 주변확률 : 결합되지 않는 개별 사건의 확률 P(A) 또는 P(B)

2) 이산형

$f_X(x)= \sum_{y} f(x,y)$

$f_Y(y) = \sum_{x} f(x,y)$

2) 연속형

$f_X(x)= \sum \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$

$f_Y(y)= \sum \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$

2) 예제 1 이어서 주변확률분포 구하기

&$f_X(x) = \sum_{y=1}^{x-1}\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1+2(x-1)}{36}, x=1,....,6$

$f_Y(y) = \sum_{x=y+1}^{6}\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1+2(6-y)}{36}, y=1,....,6$

3) 예제 2 : 결합확률분포함수 $f(x,y)= c(x+y), x=0,1,2,3,4; y=0,1,2,3$ 

확률분포함수가 되도록 상수 c와 주변확률분포, 기댓값을 구하라

① $\sum_x\sum_yf(x,y) = c\sum_x^4\sum_y^3f(x+y) = 70c= 1 \rightarrow c=\frac{1}{70}$

② $f_X(x) = \frac{1}{70}\sum_{y=0}^3(x+y)=\frac{4x+6}{70} , x=0,1,2,3,4$

$f_X(x) = \frac{1}{70}\sum_{x=0}^4(x+y)=\frac{5x+10}{70} , y=0,1,2,3$

3. 조건부확률

1) 조건부확률 : 사건 B가 사실일 경우 사건 A에 대한 확률 

$P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}$

2) 예제1 이어서 Y=y일 때, X의 조건부확률분포

$f(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}= \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1+2(6-y)}{36}} = \frac{1}{1+2(6-y)} , x=y$

$f(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}= \frac{\frac{2}{36}}{\frac{1+2(6-y)}{36}} = \frac{2}{1+2(6-y)} , x>y$

4. 독립

1) 독립 : 두 사건 A, B가 $P(A,B) = P(A)P(B)$ 의 관계가 성립하면 둘은 서로 독립이라고 정의한다

2) 예제 1 이어서 X,Y의 독립성 검토

$f(1,1) = \frac{1}{36} , f_X(1) = \frac{1}{36} , f_Y(1) = \frac{11}{36}$

2) 예제 1 이어서 X,Y의 독립성 검토

$f(1,1) = \frac{1}{36} , f_X(1) = \frac{1}{36} , f_Y(1) = \frac{11}{36}$ → 독립x

2) 예제 2 주사위를 두번 던지는 시행에서 3이상 눈의 개수 X와 짝수 눈의 개수 Y의 독립성 검토

1. 정규분포

1) 정규분포

- 연속확률분포 중 가장 많이 활용되는 분포

- 종의 형태로 된 그래프

- 연속확률변수 x의 확률밀도함수 f(x)가 다음과 같이 정해진다

$f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(\frac {x-\mu}{\sigma})^2}$

- 평균 $\mu$ 와 표준편차 $\sigma$에 의해 분포가 결정되며 그에 따라 분포의 모양도 달라진다.

2) 정규분포의 특징

- 특징

① 평균을 중심으로 좌우대칭이며 종 모양( bell shape ) 이다

② 정규분포의 모양은 평균 $\mu $ 와 표준편차 $\sigma $에 의해 결정된다

③ 평균 = 중앙값 = 최빈값 이다

④ 확률밀도함수 f(x) 의 곡선 아래 부분과 x축 사이의 면적은 항상 1이다.

⑤ 확률밀도함수 f(x) 는 x축에 무한대로 접근하므로 $-\infty < X <\infty$

-예제

평균이 5이고 표준편차가 2인 정규분포의 확률밀도함수 $f_1(x)$

평균이 7이고 표준편차가 1인 정규분포의 확률밀도함수 $f_2(x)$ 의 비교

$f_1(x)=\frac{1}{1\sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-5}{2})^2}$ 
$f_2(x)=\frac{1}{1\sqrt{2 \pi }}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x-7}{1})^2}$

3)정규분포의 표준화와 표준정규분포

- 표준화의 목적

정규분포의 확률을 쉽게 구하고 평균과 표준편차가 다른 정규분포를 쉽게 비교하기위해 

- 평균과 표준편차가 다른 확률변수 X에대해 표준화를 식을 구하면 $Z= \frac{X- \mu}{\sigma }$

- 표준정규분포 : 표준화를 한 분포, 평균 $\mu$= 0 표준편차 $\sigma $ = 1인 정규분포 $N(0,1)$ 가 된다.

2. Z 점수

1)Z 점수(Z score) : 표준화식을 통해 얻어진 값

2)-Z 점수의 의미 : Z 점수는 확률변수가 평균을 중심으로 몇 배의 표준편차만큼 떨어져있는가를 나타냄

3) Z점수의 범위 

-$-3 \leq Z \leq 3$

-$Z>0$ 일 경우 평균보다 높음

-$Z<0$ 일 경우 평균보다 낮음

-$Z=0$ 일 경우 평균, 0에 가까워 질수록 평균에 가까워짐을 의미

4) T 점수

- $T= 10Z+50$

-Z 점수의 음수값, 소수점값을 포함하는 단점을 없앤 표준점수

-Z점수가 평균이 0, 표준편차가 1인 정규분포를 따른다면, T 점수는 평균이 50, 표준편차가 10인 정규분포를 따름

-T 점수의 범위 : $20  \leq T \leq 80$

ex1) 평균이 100이고 표준편차가 10인 정규분포 $N(100,10^2)$ 에 대해 X=150에 대한 Z 점수는?

$Z = \frac{150-100}{10}=5$

ex2) A학생이 수학 80점, 영어 90점을 받았다고 할 때, 학교 내 수학, 영어 평균이 같다면 무슨 과목을 더 잘했는지 비교가 쉽지만, 평균과 표준편차가 모두 다르다면 표준화, Z점수가 필요하다.

3. 표준정규분포표에서의 확률계산

- 표준정규분포 함수의 전체 면적(확률) = 1 , 절반은 0.5

- 표준정규분포표에서는 Z가 0이상의 값을 갖는 경우의 확률만 표시

- y축: 1의 자리와 소수이하 첫째자리

- x축: 소수이하 둘째자리

  ex) Z=1.25 일 경우 y축 1.2 와 x축 0.05가 만나는 값이 표준정규분포 함수에서의 0~1.25범위까지의 확률이다. 

4. 다양한 표준정규분포의 확률계산

1) 정규분포의 확률계산

① 문제에서 계산하려는 확률(면적)을 정규분포상에 표시

② 표준화를 통해 계산하려는 확률(면적)을 표준정규분포상에 표시

ex) 평균 350000인 정규분포를 그리고 400000 이상의 확률을 구하라

$Z = \frac {400000-350000}{5000}= 1$
$P(0  \leq Z \leq 1) = 0.3413$
$0.5-0.3413= 0.1587$

2) 확률변수 X값을 찾는 방법

ex) 100명 학생의 수학성적은 평균이 75, 표준편차가 10인 정규분포를 따른다고 할 때 상위 10%에 들기위해 최소 몇 점을 받아야 하는가?

상위 10% = $P(X\geq X_a) = 0.1 = X_a$이상의 범위가 0.1인 것

① $P(0 \leq Z\leq Z_a)= 0.4$ 를 만족하는 $Z_a$를 찾는다

② $P(0 \leq Z \leq 1.2)= 0.3997$ 이므로 $Z_a=1.28$

③ $1.28=\frac {X_a-75}{10}$

④ $X_a=88$ 한 학생이 상위 10%안에 들기 위해서는 최소 88점을 받아야 한다.

$P(X\geq 88)=P(Z\geq 1.28) = 0.1$ 

5. 엑셀의 활용

1) 정규분포의 확률밀도함수나 누적확률  

=NORMSDIST (x, mean, standard_dev, cumulative)
X: 확률변수 , mean : 평균, standard_dev: 표준편차, cumulative (1 : 누적분포확률) (2 : 밀도 함수)

1) 표준정규분포의 누적분포값, 누적확률

=NORMDIST (z)
z: 확률변수

ex) 표준정규분포에 대해 $P(-1.5 \leq Z \leq 2) 계산$
=NORMSDIST(2) - NORMSDIST(-1.5) = 0.910443..

1. 확률과 확률분포

1) 확률

(1) 정의 : 어떤 사건( event )가 일어날 가능성

(2) 확실성과 불확실성

의사결정을 내리는데에는  불확실성 정도가 확실성보다 높으므로 오류를 줄이는 연구가 필요함

(3) 개념 1_ 객관적 확률

- 계산에 있어서 실험이나 관찰 필요한 확률

- 논리적 확률(고전적) : 시행 시 결과의 개수(n)가 정해져 있으며 결과가 나타날 가능성이 모두 동일할 것

- 경험적 확률(상대도수) : 동일한 조건에서 같은 실험을 반복할 때 특정 사건이 발생한 비율

- 실험 회수가 클 때의 확률 : 경험적 확률 → 논리적 확률에 근접해짐

(4) 개념 2_주관적 확률

-개인적인 지식과 경험등으로 특정사건 발생 가능성이 달라지는 확률

-생활 속에서의 의사결정은 객관적확률 + 주관적 확률 이지만 우리는 객관적확률만 다루도록 한다

2) 확률분포( Probability Distribution) : 실험, 관찰을 통해 발생가능한 모든 값과 확률을 그래프로 나타낸 것

3) 공리적 해석

-모든 확률을 다음의 공리(Axiom)를 만족

① 반드시 일어나는 사건의 확률은 1 이다.

② 모든 확률은 0~1 의 값을 갖는다.

③ 서로 독립적인 사건 A와 B에 대해 두 사건이 나타날 확률은 각 사건이 나타나는 확률의 합과 같다.

$P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

2. 확률의 연산

1) 합사건 확률

-$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

-사건 A,B가 서로 배반일 경우, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)$

2) 곱사건 확률

-두사건 A, B가 동시에 발생할 확률

- $P(A \cap B)=P(A)P(B | A)$     : A사건의 확률 x A사건이 일어났을 때 B사건이 일어날 확률

ex) 네종류 무늬에 1~13번까지 표기된 52장의 카드가 든 주머니에서 4장의 카드를 꺼냈을 때, 모두 같은 무늬가 나올 확률

$=1\times\frac{12}{51}\times\frac{11}{50}\times\frac{10}{49}=\frac{1320}{124950}\doteq 0.0106$

→ 맨처음 1을 곱하는 이유는 종류와 상관없이 52장의 카드중 한장을 고르는 확률(P(A))이기 때문

3) 조건부 확률

-어떤 조건 (B) 이 주어진 상태에서 특정사건 (A)이 발생할 확률

-$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

5) 독립사건

- 두사건 A,B 가 서로 독립일 때의 확률

-$P(B|A) = P(B)     P(A|B) = P(A)$

-$P(A\cap B) = P(A)P(B|A) = P(A)P(B)$

-독립성 판정

ex) 문과출신(A) 학생 중에서도 여학생(B)일 확률

$P(A) = 0.5, P(B) =0.5  P(A\cap B) = 0.2$

$P(A)P(B)= 0.5\times 0.5 = 0.25  \neq  P(A\cap B) = 0.2$

= 두 사건은 독립적이지 않다

4. 베이즈 정리

1) 전확률 정리 (Theorem of total probability) : 표본공간 S를 상호배반인 사상들로 분할

$P(A) = \sum_{i=1}^{k} P(B_{i} \cap A) =\sum_{i=1}^{k} P(B_{i}) P(A| B_{i})

ex) 한 제품을 랜덤 샘플링 했을 때, 불량(F)일 확률

$=0.2\times0.04+0.3\times0.02+0.1\times0.01+0.4\times0.05=0.020$

2) 베이지언 정리(Bayesian theorem) 

$P(B_{r}|A) = \frac{P(B_{r})P(A|B_{r})}{\sum_{i=1}^{k} P(B_{i})P(A|B_{i})}$

ex) 이어서, 불량품이 하나 나왔을 때 생산라인 C에서 생산되었을 확률

$P(C|F) = \frac{P(C\cup F)}{P(F)}= \frac{0.1\times 0.01}{0.020}=0.05$

5. 데이터의 형태와 척도

1) 양적 데이터(Quantitative data)

-이산적 데이터 : 셀 수(countable) 데이터 ex) 판매수, 학생수

-연속적 데이터 : 연속적으로 표시할 수 있는 데이터 ex) 무게, 길이

2) 척도

3) 데이터의 형태와 척도의 중요성

-척도에 따라 데이터의 처리 방법이 달라진다

ex) 이산형 척도는 평균이나 분산등의 일반적 분석방법에서 쓰이며

     연속형 척도는 최빈값이나 중앙값에 관심을 두므로 빈도분석, 교차분석등에 이용된다

5. 확률 분포와 확률변수

1) 확률변수

(1) 정의

-실험의 결과값을 1:1 실수로 대응시키는 함수

-대분자 X, Y로 표시, 실수값은 x,y로 표시

-일정 확률로 발생하는 사건에 숫자를 부여한 변수

(2) 구분

-이산확률변수 : 변수가 취할 수 있는 값의 갯수가 유한적 ex)$X = 0, 1, 2$

-연속확률변수 : 변수가 취할 수 있는 값의 갯수가 무한적 ex) $0\leq X \leq 10$ 

2) 확률분포

(1)정의

-실험을 통해 발생가능한 모든 값과 확률을 그래프로 표시한 것, 상대도수로 나타낼 수 있다.

-확률변수가 취할 수 있는 모든 값에 대해 각각의 확률을 대응시킨 것

(2)구분

-이산확률분포 : 이산확률변수 X의 확률을 확률함수로 계산, 히스토그램의 막대높이

-연속확률분포 : 연속확률변수 X의 확률을 표, 그래프또는 함수식으로 나타낸것, 곡선 형태

6. 이산확률분포와 연속확률분포

1) 이산확률분포 : 확률질량함수

(1) 정의

-확률변수 X에 대한 확률은 항상 0~1 사이 값을 가진다

-한번의 시행에서 X는 하나의 값만 가진다

-확률변수X에 대한 확률의 합은 항상 1이다

(2) 구분

-이항분포 : 주어진 확률과 독립적 시행

-포아송분포 : 기대값과 독립적 사건 발생

2) 연속확률분포 : 함수밀도 함수

(1) 정의

-확률변수 X에 대한 확률은 0이다

-확률밀도함수는 항상 양의 값을 갖는다

-확률은 f(x)의 높이가 아니라 구간사이의 면적( 적분 값)으로 계산한다

-확률밀도함수의 전체 면적은 항상 1이다

(2) 구분

-균등분포 : 특정범위내 균등

-정규분포 : 독립적인 확률변수들의 평균분포, 수집된 분포를 근사, 가우시안 분포

3) 확률분포의 평균과 분산

(1) 기댓값(평균)

-이산확률분포의 기댓값 : 확률을 가중값으로 사용한 가중평균 → $X \times P(X)$ 한 것을 모두 더한것

- 연속확률분포의 기댓값 : 적분으로한 면적 넓이 →$X \times P(X) $ 들의 면적(적분)

(2) 분산 : 평균으로부터의 편차의 제곱에 대한 기댓값으로 계산 → $X^2 \times P(X)$

4) 확률분포와 의사결정

ex) 두 개의 투자안에 대해 확률분포가 다음과 같다고 할 때 어떤 투자안을 선택해야 하는가?

B 투자안이 A 투자안 기대수익보다  0.05 더 크다

7. 순열과 조합

1)순열 : 순서가 있는 것

$_nP_r = \frac {n!}{(n-r)!}$

2)조합 : 순서없이 무작위로

-$_nC_r = \frac {n!}{r!(n-r)!}$

8. 이항확률분포

1) 이항확률분포

-두가지 사상 ( 성공, 실패)만 존재한 실험을 n 회 반복적으로 시행한다고 할 때

- 한가지의 사상만 될 확률을 나타내는 확률변수 X가 같게 될 분포

2) 이항확률분포의 기댓값, 분산, 표준편차

-기댓값 $E(X) = np$

-분산 $V ar (X) = np(1-p)$

-표준편차 $\sigma (X) = \sqrt{np(1-p)}$

- n 은 실험 횟수, p or (1-p) 는 두가지 사상의 확률 (합은 1) 

3) 엑셀에서 이항확률분포

ex) 한개의 동전을 3번 던지는 실험에서 앞면이 나타난 횟수를 확률변수 X라 할 때,

1. 평균과 중앙값

1) 평균(Mean)

-모든 데이터의 합을 데이터의 개수로 나눈 값

-극단적인 값이 포함되어 평균이 왜곡되는 경우 중앙값을 사용하는 것이 바람직

-$\frac{1}{n}(X_{1}+X_{2}+...+X_{n})$

2) 중앙값(Median)

-데이터를 크기 순서대로 나열할 때 가운데 위치하는 숫자

-데이터 갯수 $n$이 홀수일 경우 가운데 위치한 숫자

-데이터 갯수 $n$이 짝수일 경우 가운데 위치하는 $2$개의 평균값

-극단적인 값에 영향을 받지 않는 장점이 있지만 가운데 데이터의 비중이 큼

3) 극단적인 값이 포함된 데이터의 대푯값 비교

4) 절사평균(Trimmed Mean)

- 평균의 장점 + 중앙값의 장점

- 제일 높은 데이터와 제일 낮은 데이터를 제외한 나머지 데이터들의 평균

- 절사비율(%)의 결정 : 전체 데이터 개수의 몇 %의 데이터를 배제할 것인가?

ex) $5$개의 데이터에 대해 각각 1개씩 배제한다면 ? 절사율은 $\frac{2}{5}=40$%

5) 엑셀에서의 평균, 중앙값, 절사평균 함수

-평균  =AVERAGE(데이터범위)

- 중앙값 =MEDIAN(데이터범위)

- 20% 절사평균 =TRIMMEAN(데이터 범위, 0.2)

2. 산포도 (Measure of dispersion) 

1) 산포도 : 데이터들이 얼마나 흩어져있는가를 나타낸것 , 데이터 비교에 유용

2) 범위 (Range)

-정의 : 데이터 최댓값과 최솟값의 차이

-특성 : 2개의 정보만을 이용하므로 범위가 클수록 산포가 크다고 말할순 없고, 극단적인 값에 영향을 받는다

3) 사분위수 편차(Quartile deviation)

- 정의 : 범위의 문제점을 보완한 척도로 사분위 범위의 평균값

- 계산

① 데이터를 크기순으로 나열

② 개수를 4등분할 때 1st 사분위수 (25% 지점) 와 3rd 사분위수 (75% 지점) 의 차이 

사분위수 편차(Q) = $ \frac{사분위 범위}{2}=\frac{Q_{3}-Q_{1}}{2}$

5. 분산과 표준편차

1) 분산(Variance)

- 각 데이터와 평균의 차이를 제곱하여 합한 값의 평균

- 산포도의 척도로서 가장 널리 사용되는 방법

- 표본과 모집단 데이터 개수 차이

모집단 전체일 경우 데이터 개수($n$)로 나누고 표본일 경우 ($n-1$)로 나누어준다

표본의 크기가 큰 경우엔 차이가 없다

2) 표준편차(Standard deviation)

-분산의 제곱근

- 평균을 중심으로 일정한 거리에 포함된 데이터의 비율을 계산하는 척도, 단위

3) 분산과 표준편차의 특징

-모든 데이터를 고려한 척도

-모든 데이터가 동일한 값일 경우 분산, 표준편차는 0

- 모든 데이터에 동일한 값 $[ + , - ] $ → 변하지 않는다

- 모든 데이터에 동일한 값 $[\times]$  → $분산\times C^2 , 표준편차\times C$

6. 왜도와 첨도

1) 왜도(Skewness)

-대푯값(평균)을 중심으로 좌우의 모양의 대칭을 측정

-데이터가 한쪽 방향으로 얼마나 치우쳐져 있는지를 나타냄

2) 첨도(Kurtosis)

-분포가 대푯값을 중심으로 얼마나 모여 있는지를 나타내는 척도

4) 엑셀을 이용한 대푯값, 산포도 계산

① [데이터 입력] → [데이터 분석] 선택

② [기술통계법] 대화상자 선택후 값 입력

1. 막대그래프와 히스토그램

1) 막대그래프 : 범주(category)로 구분되는 데이터, 순서 변경 가능, 막대간 일정 간격 유지

2) 히스토그램 : 연속적인 값으로 표시되는 데이터, 순서 변경 불가능 ,막대간의 간격 없음

2. 도수분포표와 히스토그램

1) 분포 : 데이터 전반의 윤곽이나 모양

2) 도수분포표와 막대그래프 : 분포를 나타내는 방법으로 사용

3) 도수분포표와 히스토그램

-계급 수  : $2^{k}\geq n$

-계급 간격 : $\frac{데이터 최댓값- 데이터 최솟값}{계급 수}$

3. 엑셀로 그리는 히스토그램

1) 도수분포표 작성 방법

① 데이터 최댓값, 최솟 값, 데이터 갯수 구하기

② 계급 수, 계급 간격 구하기

ex1 ) 데이터 개수 $n = 18$ 일때,  $\sqrt{18} = 4.24$, 계급의 수는 $5$로 결정

ex2 ) 최댓값과 최솟값이 $219.8$과 $172.7$ 일때 구간의 간격은 $9.42$, 계급의 수는 $10$으로 결정

③ 초기값 계산

ex3 ) 최솟값이 $172.7$ 이므로 $172$로 결정, 계급간격 $10$ 씩 $5$ 구간 결정 

2) 히스토그램 작성 방법

① 데이터와 계급 구간 입력

② 엑셀에서 [히스토그램] 선택

③ [입력범위], [계급구간] 설정

④ 기타부분삭제