1. 결합확률
1) 결합확률 : 사건 X, Y가 동시에 발생할 확률
2) 이산형 결합 확률분포 : 두 확률변수 X 와 Y가 동시에 각각 x,y 값을 가질 확률
f(x,y)=P(X=x,Y=y)
0≤f(x,y)≤1
∑x∑yf(x)=1
2) 연속형 결합 확률분포 :
P(a<X<b,c<Y<d)=∫ba∫dcf(x,y)dydx
∫∞−∞∫∞−∞f(x,y)dydx=1
0≤f(x,y)
3) 예제1 : 주사위를 두번 던지는 행위에서 눈의 최대치 X 와 눈의 최소치 Y의 결합확률분포
X: 1,2,3,4,5,6
Y: 1,2,3,4,5,6
확률변수 X,Y가 x≤y 값을 만족하는 확률

①PXY(1,1) 는 x=y를 만족하며 =16×16=136
②PXY(2,1) 는 x>y를 만족하며 (2,1),(1,2) 의 경우의 수가 있으므로
=2×16×16=236
③PXY(0,1) 는 x>y,x=y를 만족하지 못하므로 0
2. 주변확률
1) 주변확률 : 결합되지 않는 개별 사건의 확률 P(A) 또는 P(B)
2) 이산형
fX(x)=∑yf(x,y)
fY(y)=∑xf(x,y)
2) 연속형
fX(x)=∑∫∞−∞f(x,y)dy
$f_Y(y)= \sum \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$
2) 예제 1 이어서 주변확률분포 구하기

&fX(x)=∑x−1y=1236+136=1+2(x−1)36,x=1,....,6
fY(y)=∑6x=y+1236+136=1+2(6−y)36,y=1,....,6
3) 예제 2 : 결합확률분포함수 f(x,y)=c(x+y),x=0,1,2,3,4;y=0,1,2,3
확률분포함수가 되도록 상수 c와 주변확률분포, 기댓값을 구하라

① ∑x∑yf(x,y)=c∑4x∑3yf(x+y)=70c=1→c=170
② fX(x)=170∑3y=0(x+y)=4x+670,x=0,1,2,3,4
fX(x)=170∑4x=0(x+y)=5x+1070,y=0,1,2,3
3. 조건부확률
1) 조건부확률 : 사건 B가 사실일 경우 사건 A에 대한 확률
P(A|B)=P(A,B)P(B)
2) 예제1 이어서 Y=y일 때, X의 조건부확률분포


f(x|y)=f(x,y)fY(y)=1361+2(6−y)36=11+2(6−y),x=y
f(x|y)=f(x,y)fY(y)=2361+2(6−y)36=21+2(6−y),x>y
4. 독립
1) 독립 : 두 사건 A, B가 P(A,B)=P(A)P(B) 의 관계가 성립하면 둘은 서로 독립이라고 정의한다
2) 예제 1 이어서 X,Y의 독립성 검토

f(1,1)=136,fX(1)=136,fY(1)=1136
2) 예제 1 이어서 X,Y의 독립성 검토

f(1,1)=136,fX(1)=136,fY(1)=1136 → 독립x
2) 예제 2 주사위를 두번 던지는 시행에서 3이상 눈의 개수 X와 짝수 눈의 개수 Y의 독립성 검토

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