[확률과 통계]결합,주변,조건부,독립 확률분포

1. 결합확률

1) 결합확률 : 사건 X, Y가 동시에 발생할 확률 

2) 이산형 결합 확률분포 :  두 확률변수 X 와 Y가 동시에 각각 x,y 값을 가질 확률

$f(x,y)=P(X=x,Y=y)$

$0\leq f(x,y)\leq 1$

$\sum_{x} \sum_{y} f(x)=1$

 

2) 연속형 결합 확률분포 :

$P(a<X<b , c<Y<d)=\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}f(x,y)dydx$

$\int_{-\infty }^{\infty }\int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dydx=1$

$0\leq f(x,y)$

 

3) 예제1 : 주사위를 두번 던지는 행위에서 눈의 최대치 X 와 눈의 최소치 Y의 결합확률분포

X: 1,2,3,4,5,6

Y: 1,2,3,4,5,6

확률변수 $X,Y$가 $x \leq y$ 값을 만족하는 확률 

①$P_{XY}(1,1)$ 는 $x=y$를 만족하며 $= \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{1}{36}$

 

②$P_{XY}(2,1)$ 는 $x>y$를 만족하며 $(2,1), (1,2)$ 의 경우의 수가 있으므로
 $= 2\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}=\frac{2}{36}$

 

③$P_{XY}(0,1)$ 는 $x>y , x=y$를 만족하지 못하므로 0

 

 

2. 주변확률

1) 주변확률 : 결합되지 않는 개별 사건의 확률 P(A) 또는 P(B)

 

2) 이산형

$f_X(x)= \sum_{y} f(x,y)$

$f_Y(y) = \sum_{x} f(x,y)$

 

2) 연속형

$f_X(x)= \sum \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$

$f_Y(y)= \sum \int_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$

 

2) 예제 1 이어서 주변확률분포 구하기

&$f_X(x) = \sum_{y=1}^{x-1}\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1+2(x-1)}{36}, x=1,....,6$

$f_Y(y) = \sum_{x=y+1}^{6}\frac{2}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1+2(6-y)}{36}, y=1,....,6$

 

3) 예제 2 : 결합확률분포함수 $f(x,y)= c(x+y), x=0,1,2,3,4; y=0,1,2,3$ 

확률분포함수가 되도록 상수 c와 주변확률분포, 기댓값을 구하라

① $\sum_x\sum_yf(x,y) = c\sum_x^4\sum_y^3f(x+y) = 70c= 1 \rightarrow c=\frac{1}{70}$

② $f_X(x) = \frac{1}{70}\sum_{y=0}^3(x+y)=\frac{4x+6}{70} , x=0,1,2,3,4$

$f_X(x) = \frac{1}{70}\sum_{x=0}^4(x+y)=\frac{5x+10}{70} , y=0,1,2,3$

 

3. 조건부확률

1) 조건부확률 : 사건 B가 사실일 경우 사건 A에 대한 확률 

$P(A|B)=\frac{P(A,B)}{P(B)}$

 

2) 예제1 이어서 Y=y일 때, X의 조건부확률분포

$f(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}= \frac{\frac{1}{36}}{\frac{1+2(6-y)}{36}} = \frac{1}{1+2(6-y)} , x=y$

$f(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_Y(y)}= \frac{\frac{2}{36}}{\frac{1+2(6-y)}{36}} = \frac{2}{1+2(6-y)} , x>y$

 

 

4. 독립

1) 독립 : 두 사건 A, B가 $P(A,B) = P(A)P(B)$ 의 관계가 성립하면 둘은 서로 독립이라고 정의한다

 

2) 예제 1 이어서 X,Y의 독립성 검토

$f(1,1) = \frac{1}{36} , f_X(1) = \frac{1}{36} , f_Y(1) = \frac{11}{36}$

 

2) 예제 1 이어서 X,Y의 독립성 검토

$f(1,1) = \frac{1}{36} , f_X(1) = \frac{1}{36} , f_Y(1) = \frac{11}{36}$ → 독립x

 

2) 예제 2 주사위를 두번 던지는 시행에서 3이상 눈의 개수 X와 짝수 눈의 개수 Y의 독립성 검토